2020-03-27

光线投影的一些计算

光线求交

首先实现了不同几何类与光线的求交点算法

使用光线的参数表示

$P (t) = R_{0} + t R_{d}$

注意距离 $t$ 并非真实单位距离，而是与 $R_{d}$ 相匹配的 $t$ ，归一化 $R_{d}$ 时要避免影响

交点处法向量应与光线方向 $R_{d}$ 成钝角

平面

隐式表示平面为

$n P + D = 0$

则点到平面距离为

$t = - (D + n \cdot R_{0}) / (n \cdot R_{d})$

验算是否满足

$t > 0$

其中平面法向量即为

$n$

三角形

用顶点表示三角形为

$P_{0}, P_{1}, P_{2}$

设光线与三角形平面交点

$P = (1 - β - γ) P_{0} + β P_{1} + γ P_{2}$

令

$E_{1} = P_{0} - P_{1}$

$E_{2} = P_{0} - P_{2}$

$S = P_{0} - R_{0}$

则有

$(\begin{matrix} t \\ β \\ γ \end{matrix}) = \frac{1}{d e t (R_{d}, E_{1}, E_{2})} (\begin{matrix} d e t (S, E_{1}, E_{2}) \\ d e t (R_{d}, S, E_{2}) \\ d e t (R_{d}, E_{1}, S) \end{matrix})$

验算是否满足

$t > 0$

$0 \leq β, γ \leq 1$

$β + γ \leq 1$

其中三角形法向量为

$E 1 \times E 2$

球体

用隐式方程表示球体为

$| P - P_{c} | - r = 0$

由光源指向球心的向量

$l = P_{c} - R_{0}$

从而可以通过 $l^{2}$ 与 $r^{2}$ 大小关系判断光源是否位于球体内部

球心到光线所在直线的投影点

$t_{p} = l \cdot R_{d}$

验算是否光源在球体内部或

$t_{p} > 0$

球心到光线所在直线的距离

$d^{2} = l^{2} - {t_{p}}^{2}$

验算是否满足

$d \leq r$

投影点到光线与球面的距离

$t_{0} = r^{2} - d^{2}$

如果光源在球体外部则

$t = t_{p} - t_{0}$

如果在内部则

$t = t_{p} + t_{0}$

其中球体交点处法向量为

$P_{c} - P (t)$

相机模型

透视相机

相机模型

为了计算图片空间射线，使用相机空间变换

空间缩放系数

$f_{x} = f_{y} = \frac{w i d t h}{2 \tan (a n g l e / 2)}$

相机空间下射线

$d_{R_{c}} = (\frac{u - c_{x}}{f_{x}}, \frac{v - c_{y}}{f_{y}}, 1)^{T}$

其中 $u$ , $v$ 为像素坐标

$c_{x}$ , $c_{y}$ 为相机位置，一般取图像中心即 $w i d t h / 2$ , $h e i g h t / 2$

坐标变换得到

$R_{d} = R d_{R_{c}}$

其中过渡矩阵

$R = [h o r i z o n t a l, - u p, d i r e c t i o n]$

模型着色

Phong 模型

使用 Phong 模型计算局部光强

$I_{p i x e l} = c_{α} k_{α} + \sum_{x} c_{x} (k_{d} R e L u (L_{x} \cdot N) + k_{s} {R e L u (V \cdot R_{x})}^{s})$

其中 $c_{x}$ 为光源颜色，不考虑环境光时 $c_{α} = k_{α} = 0$ ， $k_{d}$ , $k_{α}$ 为材质属性

$N$ 为相机到相交处的法向量， $L_{x}$ 为相交处到光源的方向向量， $V$ 为光线方向

$R e L u (x) = max (0, x)$

反射光线方向

$R_{x} = 2 (L_{x} \cdot N) N - L_{x}$

图片处理

从文件中读取配置文件，循环像素点分别计算相机出射光线是否和场景有交点：找到最近交点后叠加来自所有光源的光强影响并累加局部光强，若不存在交点则返回背景色。